Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n=1，2，3，…）．（1）求证：数列{an}为等差数列

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n=1，2，3，…）．（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；（2）若数列{1anan+1}前n项和为Tn，问满足Tn＞100209的最小正整数n是多少？．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=2n-1．
（Ⅱ）Tn＝

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

[(

1

1

?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

7

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn＝

n

2n+1

＞

100

209

，得n＞

100

9

，满足Tn＞

100

209

的最小正整数为12．