Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．

Answer 1

解答：证明：（1）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．
因为C₁N=NB₁，C₁P=PA₁，所以NP∥A₁B₁，NP=

1

2

A₁B₁．   
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB．
故NP∥AB，且NP=

1

2

AB．
因为M为AB的中点，所以AM=

1

2

AB．
所以NP=AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP．                          
因为AP?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
所以MN∥平面AA₁C₁C．             
（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．      
因为CC₁=CB₁，N为B₁C₁的中点，所以CN⊥B₁C₁．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以CN⊥BC．
因为平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC．CN?平面CC₁B₁B，
所以CN⊥平面ABC．                       
因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB．          
因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN=C，
所以AB⊥平面CMN．