Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-a^2x (1)若已知函数存在极值点，求a的取值范围

（2）若已知函数存在着单调递减区间，求a的取值范围
（3）若方程f(x)=0有三个不同的解，分别记为x1,x2,x3，证明：f(x)的导函数f'(x)的最小值f'(x1+x2+x3/3)

Answer 1

1、存在极值点，则方程f'(x)=0有两个不等实根，f'(x)=3x^2－2ax－a^2=0有两不等实根，其判别式△=(2a)^2＋12a^2>0，则a≠0。(为什么一定要“不等实根”，反例：f(x)=x^3，满足f(x)=0有根，但此函数无极值点)。
2、存在着单调递减区间，也即不等式f'(x)<0有解，方法同上。
3、f(x)=x^3-ax^2-a^2x=0，有一个根为x1=0，另外两个根x2、x3可以有用达定理，所以三个根的和就是这两个根的和。f'(x)=3x^2－2ax－a^2，其最小值当x=a/3时取得的，而f(x)=0的三个根之和为0＋x2＋x3=a。也即f'(x)的最小值f'[(x1+x2+x3)/3]。

Answer 2

(1)f'(x)=2x^2-2ax-a^2=0
的而塔4a^2+8a^2>=0
所以a属于R
(2)f'(x)<=0
3x^2-2ax-a^2<=0
-a/3<=x<=a
(3)f(x)=x(x^2-ax-a^2)=0
x1=(1-√5)a/2
x3=0
x2=(1+√5)a/2
f'(x)=3[x^2-(2/3)ax+a^2/9-4a^2/9]=3(x-a/3)^2-4a^2/9
f'(x)min=-4a^2/9
f'(x1+x2+x3/3)=-4a^2/9
所以得证