Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． （1）试

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． （1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2）若BF＝5， ，求⊙O的直径．

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Answer 1

（1）BF与⊙O相切  （2）⊙O的直径是

试题分析：解：（1）BF与⊙O相切 ∵ BD是直径      ∴∠DAB=90° ∵AE=AF，∠BAD=∠BAF，BA=BA                  ∴△BAE≌△BAF ∴∠CBA=∠FBA ∵AB=AC ∴∠C=∠CBA 又∵∠D=∠C ∴∠D=∠CBA ∴∠D=∠FBA ∵∠FBA+∠F=180°－∠BAF=90° ∴∠D+∠F=90° ∴∠DBF=180°－(∠D+∠F)=90° ∴OB⊥BF ∴BF与⊙O相切 （2）∵∠D =∠C ∴c o s∠D =" c" o s∠C = 在R t△BDF中，c o s∠D= 设BD =4x， DF =5x，则BF =3x ∵BF =5， ∴3x=5， ∴x=   ∴BD ="4x" = ∴⊙O的直径是 点评：该题考查学生对圆相关知识点的掌握程度，线与圆的关系、同弦所对的圆心角与圆周角的关系都是常考的知识点。