Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AD=4，cos∠ABF＝45，求BC的长．

Answer 1

解答：证明：（1）如图，连接BD．
∵AD⊥AB，D在圆O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直径．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直线BF是⊙O的切线．                               （4分）

（2）作AG⊥BC于点G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD＝cos∠3＝

4

5

．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD＝

4

5

，
∴BD＝

AD

cosD

＝5，AB＝

BD2?AD2

＝3．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2＝

4

5

，
∴BG＝ABcos∠2＝

12

5

．
∵AB=AC，
∴BC＝2BG＝

24

5

．                                  （8分）