Question

如图△ABC内接于圆O且AB=AC，点D在圆上AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．若AD=4，cos∠ABF=0.8 ，求BC的长

Answer 1

解：

连接BD。

∵AD⊥AB

∴∠BAF=∠BAD=90°

∴BD是⊙O的直径

又∵AF=AE，AB=AB

∴△BAF≌△BAE（SAS）

∴∠ABF=∠ABE

∵AB=AC

∴∠ABE=∠C

∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等）

∴∠D=∠ABF

∵AD/BD=cos∠D=cos∠ABF=0.8

∴BD=AD/0.8=5

根据勾股定理AB=3

连接OA交BC于H

∵AB=AC

∴弧AB=弧AC

∴OA垂直平分BC（垂径定理逆定理：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）

∴BH=CH

∵BH/AB=cos∠ABC=0.8

∴BH=2.4

BC=2BH=4.8