Question

若一个正四面体的表面积为S 1 ，其内切球的表面积为S 2 ，则 S 1 S 2 =______

若一个正四面体的表面积为S 1 ，其内切球的表面积为S 2 ，则 S 1 S 2 =______．

Answer 1

设正四面体ABCD的棱长为a，可得 ∵等边三角形ABC的高等于 3 2 a，底面中心将高分为2：1的两段 ∴底面中心到顶点的距离为 2 3 × 3 2 a= 3 3 a 可得正四面体ABCD的高为h= a 2 - 1 3 a 2 = 6 3 a ∴正四面体ABCD的体积V= 1 3 ×S △ABC × 6 3 a= 2 12 a 2 ， 设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4× 1 3 ×S △ABC ×r= 2 12 a 2 ，解得r= 6 12 a ∴内切球表面积S 2 =4πr 2 = π a 2 6 ∵正四面体ABCD的表面积为S 1 =4×S △ABC = 3 a 2 ， ∴ S 1 S 2 = 3 a 2 π a 2 6 = 6 3 π 故答案为： 6 3 π