Question

设0<x<1，a、b为常数，则y=a^2/x+b^2/(1-x)的最小值为？

下面这个解法错在哪？求指点

由均值不等式可得，x(1-x)=<1/4，
且y=>2*根号下[(ab)^2/x(1-x)]，即y=>2ab根号下[1/x(1-x)]，
又因为x(1-x)最大取到1/4，
所以2ab根号下[1/x(1-x)]最小取到4ab，所以y最小值为4ab

求指点这个解法错在哪了？逻辑上的错误吗？

Answer 1

除了思路错误外，楼主还错在两次取等条件不一样。
第一次：x(1-x)≤1/4取等时，x＝1/2.
第二次：y≥2√[a^2/x·b^2/(1-x)]取等时，应为a^2/x＝b^2/(1-x)，即x＝a^2/(a^2+b^2).
以x＝a^2/(a^2+b^2)代入原式，即得所谓的最小值a^2+b^2.
当然，楼主在根号内两因数积不为常数的前提错误下的这个最小值是错的，正确解法如下：
y＝a^2/x+b^2/(1-x)
＝1·[a^2/x+b^2/(1-x)]
＝[x+(1-x)][a^2/x+b^2/(1-x)]
＝a^2+b^2+(1-x)a^2/x+xb^2/(1-x)
≥a^2+b^2+2√[(1-x)a^2/x·xb^2/(1-x)]
＝a^2+b^2+2ab
＝(a+b)^2.
故所求最小值为：(a+b)^2。