Question

如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；

如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直线PC与AB垂直；（4）四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根据题意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°-150°）÷2=15°，
故本选项正确；

②∵∠ABC=60°+15°=75°，
∵AP=DP，
∴∠DAP=45°，
∵∠BAP=60°，
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，
∴AD∥BC；
故本选项正确；

③延长CP交于AB于点O．
∠APO=180°-（∠APD+∠CPD）=180°-（90°+60°）=180°-150°=30°，
∵∠PAB=60°，
∴∠AOP=30°+60°=90°，
故本选项正确；

④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，
故本选项正确．
综上所述，以上四个命题都正确．
故选D．