Question

已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，a，b∈R），设关于x的方程f（x）=0的两实根为x1，x2，方程f（x）=x的两

已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，a，b∈R），设关于x的方程f（x）=0的两实根为x1，x2，方程f（x）=x的两实根为α，β．（Ⅰ）若|α-β|=1，求a与b的关系式；（Ⅱ）若a，b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）的解析式；（Ⅲ）若α＜1＜β＜2，求证：（x1+1）（x2+1）＜7．

Answer 1

（I）由题意可得ax²+3x+b=0（a＜0，a，b∈R）有两个不等实根为α，β，
∴△＝9?4ab＞0，α+β＝?

3

a

，αβ＝

b

a

．
由|α-β|=1得（α-β）²=1，即(α+β)2?4αβ＝

9

a2

?

4b

a

＝1，
∴9-4ab=a²，即a²+4ab=9（a＜0，a，b∈R）．
（II）由（1）得a²+4ab=9，∵a，b均为负整数，∴

a＝?1 a+4b＝?9

，或

a＝?9 a+4b＝?1

，或

a＝?3 a+4b＝?3

，
显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有

a＝?1 a+4b＝?9

，解得a=-1，b=-2．
故所求函数解析式为f（x）=-x²+4x-2．
（III）由已知得x1+x2＝?

4

a

，x1x2＝

b

a

，又由α＜1＜β＜2，
可得α+β＝?

3

a

＜0，αβ＝

b

a

＜2，
故?

1

a

＜1，且 (x1+1)(x2+1)＝x1x2+x1+x2+1＝

b

a

?

4

a

+1＝＜2+4+1＝7．