Question

已知△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不

已知△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）． （1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12          ∴ AB=13． ∵ Q是BC的中点．        ∴ CQ=QB．又∵ PQ∥AC． ∴ AP=PB，即P是AB的中点．        ∴ Rt△ABC中， ； （2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．          以CQ为直径作半圆D． ①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DM⊥AB，且AC=AM=5．          ∴ MB=AB-AM=13-5=8．设CD=x，则DM=x，DB=12-x．           在Rt△DMB中，DB 2 =DM 2 +MB 2 ．即 (12-x) 2 =x 2 +8 2 ．        解之得： ∴　CQ= 即当CQ 且点P运动到切点M位置时,            △CPQ为直角三角形. ②当 ＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，     △CPQ为直角三角形． ③当0＜CQ＜ 时，半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°． 此时△CPQ不可能为直角三角形 ∴　当 ≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．