Question

已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别

已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e12+3e22的值为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：

|PF1|+|PF2|＝2a1 |PF1|?|PF2|＝2a2

；
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，设|F₁F₂|=2c，∠F1PF2＝

π

3

，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，4c2＝(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)?cos

π

3

；
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：

a12

c2

+

3a22

c2

＝4；
∴

1

e12

+

3

e22

＝4．
故选D．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示