Question

已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点F1，F2，C1的离心率为e1，C2离心率为e2，P为C1与C2的一个公共点，且满足1

已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点F1，F2，C1的离心率为e1，C2离心率为e2，P为C1与C2的一个公共点，且满足1e12+1e22＝2，则PF1?PF2的值为（　　）A．-1B．0C．1D．2

Answer 1

设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，焦距长为2c，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a，||PF₁|-|PF₂||=2m
∴2（|PF₁|²+|PF₂|²）=4a²+4m²，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²，
∵

1

e12

+

1

e22

＝2
∴

a2

c2

+

m2

c2

＝2
∴a²+m²=2c²，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=|F₁F₂|²
∴PF₁⊥PF₂，
∴

PF

1?

PF2

=0
故选B．