Question

设A为n阶方阵，且A2=A，证明：若A的秩为r，则A-E的秩为n-r，其中E是n阶单位矩阵

设A为n阶方阵，且A2=A，证明：若A的秩为r，则A-E的秩为n-r，其中E是n阶单位矩阵．

Answer 1

因为：A²=A，所以：A（A-E）=0，
则：r（A）+r（A-E）≤n，
又因为：r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）≥r（A+E-A）=r（E）=n，
所以：r（A）+r（A-E）=n，
则：r（A-E）=n-r，
证毕．