Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，垂足为点D．点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，垂足为点D．点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C'点，得到的四边形CQC'P是菱形？（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜6.5时，求y与x的函数关系式．（3）当0＜x＜5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ（M为PQ与AD的交点）的面积比为3：5，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）PC=10-x，CQ=2x要使四边形CQC'P是菱形，
则PC=CQ即10-x=2x．解得x=

10

3

．∴当x=

10

3

时，
四边形CQC'P是菱形；

（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，
∴由勾股定理可得AD=12cm．
①当0＜x＜5时，∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC，
∴

QE

AD

＝

CQ

CA

即

QE

12

＝

2x

13

．解得QE＝

24

13

x，又PD=5-x，
∴y=

1

2

PD?QE．即y=?

12

13

x2+

60

13

x，
②当5＜x＜6.5时，y=

1

2

PD?QE.y＝

12

13

x2?

60

13

x；

（3）当0＜x＜5时，PQ与AD交于M，存在符合条件的x．
理由如下：过点Q作QF⊥AD，垂足为F，
∵FQ∥PD，
∴S_△PDM：S_△DQM=PM：QM=PD：QF=3：5，
在Rt△QEC中，EC=CQ?cos∠ACD=

10

13

x，QF=DE=DC-EC=5?

10

13

x，PD=5-x，
∴

5?x

5? 10 13 x

＝

3

5

，
解得x=

26

7

，
∴当x=

26

7

时，△PDM与△MDQ的面积比为3：5