Question

选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x=1+tcosα y

选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x=1+tcosα y=2+tsinα （t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ 2 =6ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2 +y 2 =6y，即x 2 +（y-3） 2 =9． （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t 2 +2（cosα-sinα）t-7=0． 由△=（2cosα-2sinα） 2 +4×7＞0，故可设t 1 ，t 2 是上述方程的两根， 所以 t 1 + t 2 =-2(cosα-sinα) t 1 ? t 2 =-7 又直线l过点（1，2）， 故结合t的几何意义得|PA|+|PB|= | t 1 |+| t 2 |=| t 1 - t 2 |= ( t 1 + t 2 ) 2 -4 t 1 t 2 = 4 (cosα-sinα) 2 +28 = 32-4sin2α ≥ 32-4 =2 7 ． 所以|PA|+|PB|的最小值为 2 7 ．