Question

如图①，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F．（1

如图①，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F．（1）求证：BE-DF=EF；（2）如图②，若点P在DC的延长线上，其余条件不变，则BE，DF，EF有怎样的数量关系______（不用证明）（3）如图③，若点P在CD的延长线上，其余条件不变，画出图形，写出此时BE，DF，EF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∵DF⊥AP，BE⊥AP， ∴∠AFD=∠BEA=90°， ∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠DAF=∠ABE， 在△DAF和△ABE中 ∠DAF=∠ABE ∠AFD=∠BEA AD=AB ∴△DAF≌△ABE（AAS）， ∴AF=BE，AE=DF， ∵AF-AE=EF， ∴BE-DF=EF； （2）DF-BE=EF， 故答案为：DF-BE=EF； （3）BE+DF=EF， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∵DF⊥AP，BE⊥AP， ∴∠AFD=∠BEA=90°， ∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠DAF=∠ABE， 在△DAF和△ABE中 ∠DAF=∠ABE ∠AFD=∠BEA AD=AB ∴△DAF≌△ABE（AAS）， ∴AF=BE，AE=DF， ∵AF+AE=EF， ∴BE+DF=EF．