Question

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为（ ）；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠C=90°， ∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN， ∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°， ∴∠BAM=∠NMC，∴Rt △ABM ∽Rt △MCN ； （2）AM=PM．证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC， ∵BH=BM， ∴∠BMH=∠BHM=45°， ∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°， ∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3， ∵CP是正方形外角平分线，∴∠PCN=45°， ∴∠PCM=90°+45°=135°， ∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中， ∵ ， ∴△AHM∽△MCP（ASA）， ∴AM=PM； （3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1， ∴CM=4-1=3， ∵Rt △ABM ∽Rt △MCN ，∴ ，即 ， ∴CN= ， ∴S 梯形ABCN = （AB+CN）BC= ×（4+ ）×4= ； ∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x， ∴Rt △ABM ∽Rt △MCN ，∴ ，即 ，∴CN= ， ∴y=S 梯形ABCN = （AB+CN）BC= ×（4+ ）×4=﹣ x 2 +2x+8=﹣ （x﹣2） 2 +10， ∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10； （4）解：∵∠B=∠AMN=90°， ∴要使Rt △ABM ∽Rt △AMN ，必须有 ，即 ， ∵Rt △ABM ∽Rt △MCN ， ∴ ，∴BM=MC， ∴当点M运动到BC的中点时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，此时BM=2 ．