Question

正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM⊥MN

Answer 1

1. 证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
   ∵AM⊥MN，
   ∴∠AMN=90°，
   ∴∠CMN+∠AMB=90°．
   在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
   ∴∠CMN=∠MAB，
   ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
   
   （2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
   ∴ AB:MC=BM:CN，即4/4-X=X/CN ，
   ∴ CN=-X²+4X/4，
   ∴y=S梯形ABCN= 1/2（-X²+4X/4 +4）•4
   =- 1/2x²+2²+8
   =- 1/2（x-2)²+10，
   当x=2时，y取最大值，最大值为10．
   
   （3）∵∠B=∠AMN=90°，
   ∴要使△ABM∽△AMN，必须有AM:MN=AB:BM ，
   由（1）知AM:MN=AB:MC ，
   ∴BM=MC，
   ∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2