（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系 中
（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公...
（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系 中，对于直线 ： 和点 记 若 <0，则称点 被直线 分隔.若曲线C与直线 没有公共点，且曲线C上存在点 被直线 分隔，则称直线 为曲线C的一条分隔线.⑴求证：点 被直线 分隔；⑵若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；⑶动点M到点 的距离与到 轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
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| (1)证明见解析；（2）  ；（3）证明见解析. |
| 试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出  的值，若 ，则结论就可得证；（2）直线 是曲线 的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组 ，方程组应无实解，方程组变形为 ，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线 的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹 的方程 ，化简为 ，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为 ，然后解方程组 ，变形为 ，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数 与 的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断． 是开口方向向上的二次函数， 是幂函数，其图象一定有交点，因此直线 不是 的分隔线，过原点的直线还有一条就是 ，它显然与曲线 无交点，又曲线 上两点 一定在直线 两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：（1）由题得，  ，∴ 被直线 4 分隔.（2）由题得，直线 与曲线
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