Question

如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，BE平分∠ABC，交AC于点E，交CD于点F，且∠OBF=15°，求证：

如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，BE平分∠ABC，交AC于点E，交CD于点F，且∠OBF=15°，求证：OF=EF．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD，AO=OC，BO=OD，
∴OB=OC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=45°，
∵∠OBF=15°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，BC=OC，
∴∠OEF=∠BEC=180°-∠OCB-∠EBC=180°-45°-60°=75°，
∵∠BCF=90°，∠FBC=45°，
∴∠FBC=45°=∠BFC，
∴BC=CF=OC，
∵∠BCD=90°，∠OCB=60°，
∴∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF=∠CFO=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠COF=∠OEF=75°，
∴OF=EF．