Question

已知数列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式an

已知数列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（1）当n=1时，2a₁=a₁（1+S₁）=a₁（1+a₁），
∵a₁≠0，∴a₁=1，
当n＞1时，则2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，
∴a_n=2a_n-1，∴{a_n}是首项a₁=1、公比q=2等比数列，
∴an＝2n?1．…（6分）
（2）由（1）得an＝2n?1，
∴bn＝

n

2n?1

，…（7分）
∴Tn＝b1+b2+…+bn?1+bn＝

1

20

+

2

21

+…+

n?1

2n?2

+

n

2n?1

，①
∴

1

2

Tn＝

1

21

+

2

22

+…+

n?1

2n?1

+

n

2n

，②…（9分）
1-②得 

1

2

Tn＝

1

20

+

1

21

+…+

1

2n?1

?

n

2n

＝2×(1?

1

2n

)?

n

2n

2，…（10分）
∴Tn＝4?

n+2

2n?1

．…（12分）

Answer 2

解：
(1)
n=1时，2a1=a1(1+a1)
整理，得a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(与已知矛盾，舍去)或a1=1
n≥2时，
2an=a1·(1+Sn)，a1=1代入，整理，得
Sn=2an -1
S(n-1)=2a(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2an-1-[2a(n-1)-1]=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列。
an=1·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹
n=1时，a1=2¹⁻¹=2⁰=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ⁻¹
(2)
bn=n/an=n/2ⁿ⁻¹
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1/1+ 2/2+3/2²+...+n/2ⁿ⁻¹
½Tn=1/2+ 2/2²+...+(n-1)/2ⁿ⁻¹+n/2ⁿ
Tn-½Tn=½Tn
=1+1/2+1/2²+...+1/2ⁿ⁻¹ -n/2ⁿ
=1·(1- 1/2ⁿ)/(1- 1/2) -n/2ⁿ
=2- (n+2)/2ⁿ
Tn=4- (n+2)/2ⁿ⁻¹

解题思路：
求解通项公式时，优先考虑的是数列相邻两项的关系式，若差为定值，则是等差数列，若比为定值，则是等比数列。第二问数列求和，运用了错位相减法。