Question

（2006?南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方

（2006?南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer 1

解：（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴

DH

AE

＝

DE

AB

．
∴

y

x

＝

1?x

1

．
∴y=-x²+x
=-（x-

1

2

）²+

1

4

当x=

1

2

时，y有最大值为

1

4

．

（3）解：当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴AE=

1

2

．
∴DH=

1

4

．
又∵△ABE∽△DEH，
∴

EH

BE

＝

DH

AE

＝

1

2

．
又∵

AE

AB

＝

1

2

，
∴

AE

AB

＝

EH

BE

．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．