Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则函数f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则函数f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；②若f（x）是偶函数，则函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称；③若2是f（x）的一个周期，则对任意的x∈R，都有f（x-1）=-f（x）；④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

①中，f（x-1）的图象由f（x）的图象向右平移一个单位得到；
又f（x）是奇函数，它的对称中心是（0，0），可得f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；∴命题正确；
同理②中，f（x）是偶函数，f（x-1）的图象关于直线x=1对称；命题正确；
③中，2是f（x）=tan（

π

2

x）的一个周期，对任意x∈R，f（x-1）=tan（

π

2

x-

π

2

）=-tan（

π

2

-

π

2

x）=-

1

tan( π 2 x)

≠-f（x），∴命题不正确；
④当f（x）=x²时，y=f（x-1）=（x-1）²与y=f（1-x）=（1-x）²的图象不关于y轴对称，∴命题不成立．
故答案为：①②．