Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称

对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有f（x+1）=f（x-1），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；③若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．其中正确命题为______．

Answer 1

①，∵f（x）是奇函数， ∴f（x）的图象关于原点成中心对称，而y=f（x-1）的图象是将y=f（x）得图象向右平移一个单位， f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确； ②，对x∈R，有f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），则y=f（x）的图象不关于直线x=1对称，即②错误； ③，若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称， 则函数f（x）的图象关于直线x=0即y轴对称， ∴f（x）为偶函数，③正确； 对于④，不妨令f（x）=x，则f（1+x）=1+x，f（1-x）=1-x，二者图象关于x=0对称，故④错误． 故答案为：①③．