如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°（
如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）求P...
如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．
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证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2
，
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，
∴AE=CE=2，
又BE=
AB＝2，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．
解：（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的坐标系．则P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），
＝(0，?4，2)，
＝(2，?2，0)
由（Ⅰ）知
即为平面PAC的一个法向量，
∴cos＜
，
＞＝
| 2 |
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，
∴AE=CE=2，
又BE=
| 1 |
| 2 |
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．
解：（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的坐标系．则P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），
| BP |
| BC |
由（Ⅰ）知
| BC |
∴cos＜
| BC |
| BP |
| ||||
|
