Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形
∴AE=DC=1，又AB=2，
∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB＝

2

∴AD=CE=1，
则AC＝

AD2+DC2

＝

2

，
AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC又
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（2）解：∵PA⊥平面AC，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，
又PA=AD=1，
AC＝

2

∴PC＝

3

PD＝

2

∴点D到PC的距离h′＝

S△PCD

1 2 ?PC

＝

2

3

在三棱锥P-ACD中，S△ADC＝

1

2

?CD?AD＝

1

2

，
S△PAC＝

1

2

?AC?PA＝

2

2

，
V_P-ACD=V_D-PAC；
∴点D到平面PAC的距离h＝

VP?ACD

1 3 ?S△PAC

＝

1 3 ?SADC?PA

1 3 ?S△PAC

＝

1

2

∴sinα＝

h

h′

＝

3

2