Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，点P为

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为 (4， π 2 ) ，点Q为线段PM的中点．（1）求点Q的轨迹C 1 的方程；（2）试判定轨迹C 1 和⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐标方程为x 2 +y 2 -2y=0，即x 2 +（y-1） 2 =1； ∵点M的极坐标为 (4， π 2 ) ，∴直角坐标为（0，4） 设P（x 0 ，y 0 ），Q（x，y），则x 0 2 +（y 0 -1） 2 =1① ∵点Q为线段PM的中点，∴ x 0 =2x y 0 =2y-4 代入①，可得点Q的轨迹C 1 的方程x 2 +（y- 5 2 ） 2 = 1 4 ； （2）x 2 +（y-1） 2 =1的圆心坐标为（0，1），半径为1；x 2 +（y- 5 2 ） 2 = 1 4 的圆心坐标为（0， 5 2 ），半径为 1 2 ∴两圆圆心距为 3 2 ，等于两圆半径和，所以两圆外切．