已知函数f（x）=lnx，g(x)＝12ax+b．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若
已知函数f（x）=lnx，g(x)＝12ax+b．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若φ(x)＝m(x?1)x+1?f(x)在[1，+...
已知函数f（x）=lnx，g(x)＝12ax+b．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若φ(x)＝m(x?1)x+1?f(x)在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：2nn+1＜1ln2+1ln3+1ln4+…+1ln(n+1)＜n2+1+12+13+…+1n．
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（Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，∴f′(x)＝
，∴f′(1)＝1＝
a，得：a=2------------------（2分）
又∵g(1)＝0＝
a+b，∴b=-1，∴g（x）=x-1；----------------（3分）
（Ⅱ）解：∵φ(x)＝
?f(x)=
?lnx在[1，+∞）上是减函数，∴?′(x)＝
≤0在[1，+∞）上恒成立．------------------（5分）
即x2-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由2m?2≤x+
，x∈[1，+∞），
∵x+
∈[2，+∞)，∴2m-2≤2得m≤2；------------------（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，lnx＜x?1≤
(x?1)，
∴lnx＜
x(x?1)得：
＜
，∴2(
?
)＜
，------------------（8分）
∴当x=2时，2(
?
)＜
；当x=3时，2(
?
)＜
；当x=4时，2(
?
)＜
，…，当x=n+1时，2(
?
)＜
，n∈N+，n≥2
上述不等式相加得：2(1?
)＜
+
+
+…+
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
又∵g(1)＝0＝
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）解：∵φ(x)＝
| m(x?1) |
| x+1 |
| m(x?1) |
| x+1 |
| ?x2+(2m?2)x?1 |
| x(x+1)2 |
即x2-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由2m?2≤x+
| 1 |
| x |
∵x+
| 1 |
| x |
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，lnx＜x?1≤
| x |
| 2 |
∴lnx＜
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| x(x?1) |
| 1 |
| lnx |
| 1 |
| x?1 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| lnx |
∴当x=2时，2(
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| ln2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| ln3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| ln4 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| ln(n+1) |
上述不等式相加得：2(1?
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| ln2 |
| 1 |
| ln3 |
| 1 |
| ln4 |
1
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