如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射...
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y， ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
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| (1)①  （ ）,②AP= ;(2)AP的长为 或 ． |
| 试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式； ②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-  x+4（圆心距），BQ=- x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到- x+4=x+(- x+3），然后解方程即可；（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-  x+4，CQ=BC-BQ= x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI 2 =CQ 2 +IQ 2 =（ x） 2 +（- x+4） 2 = x 2 - x+16，再由CI=AP得到 x 2 - x+16=x 2 ，解得x 1 = ，x 2 =4，由于0＜x＜ ，由此得到AP的长为 ;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ= x-4，CQ=BC-BQ= x，在Rt△CQI中，CI 2 =CQ 2 +IQ 2 = x 2 - x+16，利用CI=AP得到 x 2 - x+16=x 2 ，解得x 1 = ，x 2 =4，由于 ＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为 或4．试题解析： 解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA． ∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE． ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC． ∴∠ABC=∠DEC，  ．∴PB=PE． Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5． 又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x， ∴  ∴ （ ）．②设BE的中点为Q，联结PQ． ∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC， ∴  ，∴ ，∴  ， ．当以BE为直径的圆和⊙P外切时，  ．解得  ，即AP的长为 ．（2）如果点E在线段BC延长线上时， 由（1）②的结论可知 
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