Question

如图所示，在直三棱柱A 1 B 1 C 1 －ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A 1 A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直

如图所示，在直三棱柱A 1 B 1 C 1 －ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A 1 A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A 1 B与C 1 D所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的正弦值．

Answer 1

（1） （2）

(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1 (0，0，4)，C 1 (0，2，4)，所以 ＝(2，0，－4)， ＝(1，－1，－4)． 因为cos〈 ， 〉＝ ＝ ，所以异面直线A 1 B与C 1 D所成角的余弦值为 . (2)设平面ADC 1 的法向量为 n 1 ＝(x，y，z)， 因为 ＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)，所以 n 1 · ＝0， n 1 · ＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0， 取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以， n 1 ＝(2，－2，1)是平面ADC 1 的一个法向量． 取平面AA 1 B的一个法向量为 n 2 ＝(0，1，0)， 设平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝ ＝ ，得sinθ＝ . 因此，平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的正弦值为 .