Question

如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的

如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M?m=34a2．（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求2S1S2S12+S22的取值范围．

Answer 1

（1）设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a-c，而M?m=

3

4

a2，所以有a2-c2=

3

4

a2，即a²=4c²，a=2c，
因此椭圆的离心率为e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）由（1）可知a=2c，b=

a2-c2

=

3

c，椭圆的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由

y=k(x+c) x2 4c2 + y2 3c2 =1

消去y并整理得（4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0
从而有x1+x2=-

8ck2

4k2+3

，y1+y2=k(x1+x2+2c)=

6ck

4k2+3

，（6分）
所以G(-

4ck2

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