Question

如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．（1）证明：

如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．（1）证明：△OCE与△OAD面积相等；（2）若CE：EB=1：2，求BD：BA的值；（3）若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC⊥OC，BA⊥OA，
∴S_△OCE=S_△OAD=

k

2

，
∴△OCE与△OAD面积相等；

（2）∵CE：EB=1：2，
∴设点E的坐标为（m，n），则点B的坐标为（3m，n）．
设点D坐标为（3m，y），
∵E（m，n），D（3m，y）均在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=mn=3my，解得y=

1

3

n．
∴DA=

1

3

n，BD=BA-DA=

2

3

n，
∴BD：BA=

2

3

n：n=2：3．

（3）设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=

ab

x

，
∵点M为矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），
∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，
又∵点D、点E在反比例函数y=

ab

x

的图象上，
∴D点的纵坐标为

1

2

b，E点的横坐标为

1

2

a，
∵S_矩形OABC=S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，
∴2a?2b=

1

2

?2a?

1

2

b+

1

2

?2b?

1

2

a+6，
∴ab=2，
∴k=2．