Question

已知数列{an}为公差大于0的等差数列，Sn为其前n项和，且a1a6=21，S6=66．（1）求数列{an}的通项公式；（2

已知数列{an}为公差大于0的等差数列，Sn为其前n项和，且a1a6=21，S6=66．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn＝xan+3，求{bn}的前n项和Tn；（3）若数列{cn}是等差数列，且cn=Snn+p，求常数p．

Answer 1

（1）∵S₆=66=

6(a1+a6)

2

，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的两个根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）bn＝xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，
当x=0时，bn＝xan+3=0，{b_n}的前n项和 T_n=0．
当x=1时，bn＝xan+3=1，{b_n}的前n项和 T_n=n．
当x=-1时，bn＝xan+3=-1，{b_n}的前n项和T_n=-n．
当x≠0 且x≠±1时，bn＝x4n+9，{b_n}的前n项和 T_n=

x13(1?x4n)

1?x4

．
综合可得，{b_n}的前n项和Tn＝

0，x＝0 n，x＝1 ?n，x＝?1 x13(1?x4n) 1?x4 ，x≠±1且x≠0

．
（3）∵S_n=n×1+

n(n?1)

2

×4=2n²-n，∴c_n=

Sn

n+p

=

2n2?n

n+p

． 
∵{c_n}是等差数列，∴c₁+c₃=2c₂，即

1

1+p

+

15

3+p

=2×

6

2+p

，
由此解得 p=0，或