Question

设函数f（x）=a3x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条

设函数f（x）=a3x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，若a=-3，函数f（x）在[-2，2]的值域为[-2，2]，求f（x）的零点；（3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1对一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），解得b=0．                        …（2分）
（2）由（1）可知f（x）=-x³+cx，∴f′（x）=-3x²+c．
①若c≤0，则f′（x）≤0恒成立，则f（x）单调递减，
又函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，∴

f(?2)＝2 f(2)＝?2

，此方程无解．…（4分）
②若c＞0，则f′(x)＝0?x＝±

c 3

（ⅰ）若

c 3

＞2，即c＞12时，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，∴

f(2)＝2 f(?2)＝?2

，此方程组无解；                               …（6分）
（ⅱ）

c 3

≤2≤2

c 3

时，即3≤c≤12时，∴

f( c 3 )＝2 f(? c 3 )＝?2

，所以c=3；…（8分）
（ⅲ）2＞2

c 3

时，即c＜3时，∴

f(2)＝?2 f(?2)＝2

，此方程组无解．
综上可得c=3，∴f（x）=-x³+3x的零点为：x1＝0，x2＝?

3

，x3＝

3

．              …（10分）
（3）由题设得(

a

3

?a2)x3+(b?2ab)x2+(c?ac)x+1≥0恒成立．
记F(x)＝(

a

3

?a2)x3+(b?2ab)x2+(c?ac)x+1，
若

a

3

?a2≠0，则三次函数F（x）至少有一个零点x₀，且在x₀左右两侧异号，
所以原不等式不能恒成立；
所以

a

3

?a2＝0，∴a＝

1

3

，此时F(x)＝

b

3

x2+

2c

3

x+1≥0恒成立等价于：