Question

已知函数f(x)=mlnx-1/2x²(m属于R）满足f‘(1)=1

若函数g(x)=f(x)-(1/2x²-3x+c)在[1,3]内有两个零点，求实数c的取值范围

Answer 1

f(x)=2lnx-1/2x²
f'(x)=m/x-x，f”(1)=m-1=1，m=2，
f(x)=2lnx-1/2x²，
g(x)=f(x)-(1/2x²-3x+c)= 2lnx-x^2+3x-c，
g'(x)= 2/x-2x+3=(-2x^2+3x+2)/x，x>0，
令g'(x)=0，x=2∈[1,3]，且g'(x)在x=2的左侧正右侧负，即g(x)在区间[1,3]上取得极大值g(2).
要使g(x)在[1,3]内有两个零点，只要g(x)的极大值大于0，同时两个端点函数值不大于0就行了。即，
g(2)=2ln2-4+6-c>0，
且g(1)=-1+3-c≤0，
且g(3)=2ln3-9+9-c≤0.
解得ln9≤c<2+ln4.
吔，高考题的胚子哟！