Question

当x→0时，只要有极限就可以用等价代换。是正确的吗？

Answer 1

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的 等价无穷小
确切地说,当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(1/x)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量.
例如,f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量,f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量.特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈.
这里值得一提的是,无穷小是可以比较的：
假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小,
如果lim b/a=0,就说b是比a高阶的无穷小,记作b=o（a）
如果lim b/a=∞,就是说b是比a低阶的无穷小.
比如b=1/x^2,a=1/x.x->无穷时,通俗的说,b时刻都比a更快地趋于0,所以称做是b高阶.假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶,因为c更快地趋于0了.
如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0）,就说b是关于a的n阶的无穷小,b和a^n是同阶无穷小.
下面来介绍等价无穷小：
从无穷小的比较里可以知道,如果lim b/a^n=常数,就说b是a的n阶的无穷小,b和a^n是同阶无穷小.特殊地,如果这个常数是1,且n=1,即lim b/a=1,则称a和b是等价无穷小的关系,记作a～b
等价无穷小在求极限时有重要应用,我们有如下定理：假设lim a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'
接着我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)
根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ,那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0