Question

求助用多元函数微分学解决这题：已知x,y,z为常数，且e^x+y^2+|z|=3,求证：e^x*y^2*|z|<=1

用不等式什么的就不用看了，我们是在多元函数微分学里面出的这道题，指明用多元函数微分学解决

Answer 1

使用拉格朗日乘数法，记多元函数f(x,y,z)=exp(x)*y²*|z|，φ(x,y,z)=exp(x)+y²+|z|-3=0，那么：
对x求偏导：exp(x)*y²*|z|-λexp(x)=0；
对y求偏导：2exp(x)*y*|z|-2λy=0；
对z求偏导：exp(x)*y²*(±1)-(±λ)=0，当z≥0时取+1，当z<0时取-1；
条件等式：exp(x)+y²+|z|-3=0
分析三个偏导式得到：
λ=y²|z|=|z|exp(x)=y²exp(x)
显然有：exp(x)=y²=|z|
结合条件等式得到：exp(x)=y²=|z|=1
那么f的极值就是1，同时注意f能够取到比1小的值（例如令上述三个任一为0，则为0），所以1就是f的最大值，结论得证。