Question

求解一道线性代数的证明题。

如题，设矩阵A与其对角矩阵相似，证明A的逆矩阵与对角矩阵相似。

Answer 1

解，设A的对角矩阵为B，那么，A=Eij(k1)*……*Eij(km)*B*Eij(r1)*……*Eij(rn).其中Eij(ki)Eij(ri)皆为初等矩阵，把i行（列）的ki（ri）倍加到第j行（列）
A^-1=[Eij(k1)*……*Eij(km)*B*Eij(r1)*……*Eij(rn)]^-1=Eij(rn)^-1*……*Eij(r1)^-1*B^-1*Eij(km)^-1*……*Eij(k1)^-1=Eij(-rn)*……*Eij(-r1)*B^-1*Eij(-km)*……*Eij(-k1).其中Eij(-ki)Eij(-ri)皆为初等矩阵，所以A^-1的对角矩阵为B^-1,所以A的逆矩阵与其对角矩阵相似。

Answer 2

已知矩阵A与其对角矩阵相似

即存在可逆矩阵P，使得P^(-1)×A×P=对角阵B

上式等号两边求逆矩阵，得
（需要知道：乘积的逆等于因子分别求逆后反向相乘）

P^(-1)×A^(-1)×P=对角阵B^(-1)

而对角阵B的逆矩阵仍然是对角阵，只不过其逆矩阵是原矩阵主对角线上元素分求倒数而已

依据相似定义，得证