Question

线性代数，一道关于矩阵的秩的证明题！

书上没有答案，求详细过程，谢谢

Answer 1

构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。

现在来证明它们同解：
首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0

其次证明（2）的解也是（1）的解：
设x1是（2）的解，则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。

于是R(A)=R(AT A)

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 3

分析：证明齐次线性方程组A'Ax=0与Ax=0同解即可。
证明：首先，Ax=0的解都是A'Ax=0的解。
其次，若A'Ax=0，两边左乘以x'，得x'A'Ax=(Ax)'(Ax)=0，所以Ax=0。所以A'Ax=0的解也是Ax=0的解。
所以A'Ax=0与Ax=0同解，其基础解系是等价的，也是等秩的，所以n-r(A'A)=n-r(A)，所以r(A'A)=r(A)。