Question

一道关于线性代数矩阵的秩的题目！请好人解答！

我不明白“则”字后面第一个r(A)怎么消去的，“从而”的前面倒数第二个A^(-1)又是怎么消去的，请详细解答！怎么感觉一个可逆矩阵在秩里面可以无条件消去的，我还是有些糊涂！

Answer 1

因为你已经知道了r(AB)<=min(r(A), r(B))，那么AB的秩小于等于A或B两个矩阵任意一个的秩。所以必然有r(AB)<=r(B)。

第二个问题，用之前的条件知道r(A^(-1)(AB))<=min(r(A^(-1), r(AB)), 所以和上面一样的道理，得到它小于等于r(AB)。

Answer 2

“由于”后面的式子已经说明了“矩阵乘积的秩 ≤ 每一个矩阵的秩”，所以r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)都成立。
“从而”前面的式子还是用了“矩阵乘积的秩 ≤ 每一个矩阵的秩”。

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你说的“可逆矩阵在秩里面可以无条件消去的”也是矩阵秩的一个性质，就是说一个矩阵乘以一个可逆矩阵是不改变它的秩的。