Question

高中物理题一道。。各位大神哪个来帮小弟把这题解了... 想了2小时硬是没想出来...

设椭圆中心再原点，焦点在X轴上，过焦点的直线与椭圆交于P、Q两点，O是原点，若OP与OQ的向量积为0，求椭圆的离心率的范围。
最好是详细的解答过程...小弟刚学椭圆不是怎么熟悉...

Answer 1

根据条件设椭圆方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1 (a＞b)。不失一般性令过的焦点为右焦点(√(a^2-b^2),0)，直线斜率为k，故此直线方程为y=k[x-(√(a^2-b^2)]。
联立两个方程消去y化简得：
[(ka)^2+b^2]x^2-2(ka)^2√(a^2-b^2)x+k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2=0，这是关于x的一元二次方程。两解x1、x2分别是P、Q的横坐标。经计算Δ=(k^2+1)a^2b^4＞0恒成立。
由Vieta定理知：x1+x2=2(ka)^2√(a^2-b^2)/[(ka)^2+b^2]，x1x2=(k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2)/[(ka)^2+b^2]。
由题意，向量OP=(x1,y1)，向量OQ=(x2,y2)，且x1x2+y1y2=0，即(k^2+1)x1x2-k^2√(a^2-b^2)(x1+x2)+k^2(a^2-b^2)=0。将Vieta定理x1x2、x1+x2两式带入上式化简得：
(a^4-a^2b^2-b^4)k^2-a^2b^2=0，即k^2=(ab)^2/(a^4-b^4-a^2b^2)。
因为k^2＞0，所以必有a^4-b^4-a^2b^2＞0，即1-(b/a)^2-(b/a)^4＞0。解得：0＜(b/a)^2＜(√5-1)/2。
离心率e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√[1-(b/a)^2]，所以离心率的取值范围是((√5-1)/2,1)。

Answer 2

你说的是数学问题吧。