Question

复变函数问题，求大神解答。图片中为什么是二级极点而不是三级极点？

Answer 1

答：是二阶极点。就f(z)=z/(sinz)^3表面上看，z=0应该是三阶极点，但f(z)=(z/sinz)/(sniz)^2，当z=0时，lim(z→0)z/sinz=1，即有一次z=0时非f(z)的零点/极点。故，是二阶极点。供参考。

Answer 2

我觉得下面那个方法有点玄乎，我是这么做的：
首先使用一个定理：z=z为函数的m极零点的充要条件是 g(x)=1/f(x)在z0
解析且以z0为m阶零点。
然后再使用零点级数的判定定理：
设 点 a 为 解 析 函 数 (z ) 的 m 阶零点，则f(z)在点a 的邻域内存在泰勒展式 f (z ) = C m (z - a )m + C m + 1 (z - a )m + 1 + ...
对（sinxz）^3/z进行泰勒展开可以表示为z^2(1-z^/3!+z^5/5!-……
故得到z=0为函数g（x）的二阶零点，所以z=0为f（x）的二阶极点
这样要严谨一点

Answer 3

可以根据定义，洛朗级数展开式z的负幂项最高幂是2