Question

球的表面积公式是怎样推导出来的

Answer 1

看看能否用初等的数学解释，也算是一个挑战。闲话少说，且听慢慢道来。

长方形、三角形、梯形面积

先从长方形面积开始。大家都知道长方形的面积是底 *高，直观上不难理解：这就是数一数图中有多少单位小正方形而已。堆了 m 排小正方形，每排有 n 个，总数就是 m*n 个；每个小正方形的面积是1，所以总面积是 m*n。把整数 m,n 换成分数也一样成立，无非是以更小的正方形做单位来数而已。
把两个三角形或者两个梯形一正一反拼起来，得到了长方形。由此得到三角形的面积是长方形的一半， 也就是(底*高)/2，而梯形的面积是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以说，三角形是梯形面积公式的特例，三角形是上底 =0的梯形，长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了，它概括了全部三种情形。
大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事，大家恐怕是耳熟能详了。高斯使用的等差数列求和公式，总和= (首项+末项)* 项数/2，本质上和梯形面积公式是一回事：首项、末项分别是上底和下底，项数是高。这个例子看出数学是广泛联系的整体，求数列和、求面积体积、求积分，都是一个东西，只是符号不同罢了。

斜三角形面积和祖暅原理

好学的孩子可能会马上指出，上面的做法计算三角形和梯形的面积，只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也成立？

简单的解释是斜三角形，一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形可以不断切掉斜角补到另一侧（有时可能要做多次），变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的面积也是底 * 高，上面三角形和梯形公式仍然成立。
祖暅原理不难理解：想象每个高度上，都被一个很细的小条覆盖住，小条的长度是这个高度上的截线长度，厚度是个很小的d 。所有小条的面积加起来就是图形的面积 —— 有些小误差，但是当 d -> 0 时误差就缩小到0，得到精确面积。既然这两个图形在每个高度上的截线长度都相同，对应的小条的面积也相同，所以总面积自然也一样。上述推理应用到三维空间也成立，只要把“截线长度”换成“截面面积”就好了。祖暅原理告诉我们，平行四边形面积和等底等高的长方形面积相等，因为每个高度的截线长度都相等。同理，等底等高的三角形（或梯形）的面积也是相等的，因为根据相似性，它们也满足祖暅原理的条件。
现在说体积。我们熟知棱柱或圆柱体积 =底面积 * 高，而棱锥和圆锥的体积，是同底同高的棱柱或圆柱体体积的1/3 ，也就是 底面积 * 高/3。为什么呢？

利用上面数方块的办法，知道长方体的体积 = 底面积 * 高。一个正方体，可以恰好切成三个全等的“直角金字塔”，每个金字塔的底面是正方体的一面，高是正方体的边长。所以底面为正方形、高为正方形边长的棱锥的体积为等底等高棱柱的1/3 。根据祖暅原理和相似性，很容易把这个结论推广到一般的棱锥和圆锥。这个规律甚至在更高的维度也成立， N维空间的球体积有如下的漂亮公式： 球体积=球表面积 * 半径/N。这里系数1/N 来自N 维空间中的“棱锥”（学名是单纯形）和对应的长方体（超矩形）的体积关系。看，原来球就是个底面自我封闭的棱锥，如此而已。

直接计算球表面积

另一件值得提及的事情，是有没有可能不通过体积，直接计算球表面积？事实上，球的表面积和一个半径为R，高度为2R的圆柱侧面积是一样的。下图左侧的球和右侧的圆柱半径相等，高度也相等，也就是球可以刚好装进这个圆柱里卡住。这个圆柱的侧面积（不包含上下底），很容易计算：

Answer 2

将圆球切成无数个小圆环，圆环的宽度为Rdθ(弧微元),长度为圆的周长2πRsinθ
面积微元:
dS=2πRsinθ(Rdθ)=2π(R^2)sinθdθ
积分得:
S表=∫[0,π]2π(R^2)sinθdθ=2π(R^2)∫[0,π]sinθdθ
=-2π(R^2)cosθ|[0,π]
=4πR^2

Answer 3

数学一分钟 球的表面积公式推导证明