Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

1、证明：因为AB=AC,AD⊥BC,
所以∠BAD=∠CAD（三线合一）,
又因为AN平分∠CAM,∠BAC+∠CAM=180°,
所以∠CAD+∠CAN=180°/2=90°,
又因为CE⊥AN,
所以AD∥CE,∠ADC=∠CEA=∠DAE=90°,
则∠DCE=90°,
所以四边形ADCE是矩形.
2、当△ABC是等腰直角三角形时,四边形ADCE是一个正方形.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形,
则∠BAC=90°,
所以∠DAC=45°,
又因为四边形ADCE是矩形,
所以∠ADC=90°,
所以∠ACD=45°,
所以AD=DC,
所以四边形ADCE是正方形.

Answer 2

1）∠MAC=∠B+∠C，因为AB=AC，所以∠B=∠C，所以∠C=1/2 ∠MAC，因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠NAC=1/2 ∠MAC,所以∠NAC=∠C，因为AD⊥BC，所以∠C+∠DAC=90度，所以 ∠EAD=90度。四边形ADCE有三个角为直角了，所以得证。
2）△ABC为直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形