Question

数学问题：设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义，证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式。

不好意思，我想具体了解一下为什么(f(x)+f(-x))是偶函数，另一个（f(x)-f（-x))是奇函数，谢谢···

Answer 1

首先给出偶函数和奇函数的定义：
1.函数M(x)的定义域为D1，对任意的x属于D1，都有M(-x)=M(x)，则称M(x)是偶函数；
2.函数N(x)的定义域为D2，对任意的x属于D2，都有N(-x)=-N(x)，则称N(x)是偶函数。

下面回答上述问题：
f(x)=[f(x)+ f(-x)]/2+ [f(x)- f(-x)]/2
令
g(x)=[f(x)+ f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
于是， g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2 = g(x)
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2 = -[f(x)-f(-x)]/2 = -h(x)
由奇函数和偶函数的定义可知，g(x)是偶函数，h(x)是奇函数。
原命题得证！

Answer 2

f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
其中加号前面[f(x)+f(-x)]/2是偶函数
加号后面是奇函数

Answer 3

有图

Answer 4

f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
其中加号前面[f(x)+f(-x)]/2是偶函数
加号后面是奇函数 .
偶函数定义f(x)=f(-x),奇函数定义f(x)=-f(-x).你检验一下，上式成立。