求微分方程通解
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系科仪器
2024-08-02 广告
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先求特解：
y' = 2y/(x+1) = dy/dx
dy/y = 2dx/(x+1)
方程两边同时积分，可以得到：
∫dy/y = 2∫dx/(x+1)
lny = 2ln(x+1) + c'
则
y = (x+1)² * e^c' = Y*(x+1)²
那么，
dy/dx = dY/dx * (x+1)² + Y* 2(x+1)
把上面的结论再代回原式，可以得到：
[dY/dx * (x+1)² + Y * 2(x+1)] - 2Y(x+1)²/(x+1) = (x+1)³
dY/dx * (x+1)² + 2Y(x+1) - 2Y(x+1) = (x+1)³
dY/dx * (x+1)² = (x+1)³
所以：
dY/dx = (x+1)
dY = (x+1)*dx
两边同时积分，得到：
Y = 1/2 * (x+1)² + C
因此：
y = Y*(x+1)²
= 1/2 * (x+1)^4 + C*(x+1)²
y' = 2y/(x+1) = dy/dx
dy/y = 2dx/(x+1)
方程两边同时积分，可以得到：
∫dy/y = 2∫dx/(x+1)
lny = 2ln(x+1) + c'
则
y = (x+1)² * e^c' = Y*(x+1)²
那么，
dy/dx = dY/dx * (x+1)² + Y* 2(x+1)
把上面的结论再代回原式，可以得到：
[dY/dx * (x+1)² + Y * 2(x+1)] - 2Y(x+1)²/(x+1) = (x+1)³
dY/dx * (x+1)² + 2Y(x+1) - 2Y(x+1) = (x+1)³
dY/dx * (x+1)² = (x+1)³
所以：
dY/dx = (x+1)
dY = (x+1)*dx
两边同时积分，得到：
Y = 1/2 * (x+1)² + C
因此：
y = Y*(x+1)²
= 1/2 * (x+1)^4 + C*(x+1)²
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