Question

已知三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，PB垂直于AC，PA=AC=1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN，

M,S分别为PB、BC中点，求证：1.CM垂直于SN
2.求SN与平面CMN所成角的大小
第一问已经证明出了，方法是作CO垂直于AB

Answer 1

不知道你的基础是什么，我就假设你学过解析几何了，看不懂的话再问我。
易见AP垂直于AB，于是我们可以以A为原点，AP（射线）为z轴，AB（射线）为x轴，AP（线段）为单位长度，建立空间直角坐标系。由题设，PA垂直于平面ABC，故C在x-y平面内，设C的坐标是（x，y，0）。P和B的坐标已经可以写出，分别为（0,0,1）和（2,0,0），于是向量PB=（2,0,-1）。由AC垂直PB，AC与PB内积为零，即2x=0，从而x=0，故C在y轴上，又AC长度已知，从而C的坐标为（0,1,0）。然后每个点的坐标都可以写出：M（1,0,1/2），N（1/2,0,0），S
(1,1/2,0).

（1）CM=（1，-1,1/2），SN=（1/2,1/2,0）从而CM和SN的内积为1*1/2+（-1）*1/2=0，故二者垂直。
（2）先计算平面CMN的法向量a：CN=（1/2,-1,0）CM叉乘CN得a=（1/2,1/4,-1/2。设所求角为r，则cos（r）=a与SN的内积/（SN的长度 * a的长度）=3/8 /（3*2^0.5/8）=2^0.5/2 故r=45°