Question

收敛数列的保号性怎么理解？

Answer 1

收敛数列的保号性：

1,若有正整数N，使得当n>N时An>0(或<0)，则极限A>0(或<0).
2,若极限A>0(或<0),则有正整数N使得当n>N时，An>0(或<0).
例子：An=1/n ，每一个An都大于0，但极限A=0.
说明：
1、用反证法来说明：假设满足你的条件(An>0)，但A<0，则-A/2>0，由极限的定义，存在一个M，使得当n>M时，|An-A|<(-A/2) => An<A/2<0。这里对n>M都成立，所以我们也可以同时要求n>N，这时有An<0(n>N)，与条件矛盾。
2.直接说明即可。
若A>0，则A/2>0。由极限的定义，存在一个N，当n>N时，|An-A|<A/2 => An>A/2>0。这样我们已经找到了一个N，当n>N时，An>0。

收敛数列性质

1.唯一性

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个 极限。收敛数列

2.有界性

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论： 无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

3.保号性

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

Answer 2

定理：如果数列lim（n→+∞）Xn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N>0，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。
理解起来就是：数列无限趋于a。n越接近于+∞，数列的值Xn就越接近a，这里就分两种情况。情况一a>0，Xn趋于a但不会大于a。例如：Xn=1+1/x 结合图很容易弄懂
情况二 a<0，Xn趋于a但不会小于a。 例如：Xn=-（1+1/x） 结合图像很容易弄懂

Answer 3

比如说有个数列 an 。lim an=M>0 (例如取个M=1)

你想想an取极限后是个大于0的数，肯定是某个大数N之后，
对于n>N的所有an都在 M附近（在1的附近就大概 （0.9，1.1）左右）然后就an都>0了