Question

求不定积分，如图。图中这个不定积分怎么求的？我要过程。

Answer 1

f(x)=∫f'(x)dx=∫(1-x²)/(1+x²)²dx
令x=tanu，则dx=sec²udu，于是
f(x)=∫(1-tan²u)/(sec²u)²*sec²udu
=∫(1-tan²u)*cos²udu
=∫(cos²u-sin²u)du
=∫cos2udu=1/2*sin2u+C
=1/2*2tanu/(1+tan²u)+C
=x/(1+x²)+C
当然也可以用试凑法，就是：
f'(x)=(1-x²)/(1+x²)²=[1*(1+x²)-x*2x]/(1+x²)²
=[x'*(1+x²)-x*(1+x²)']/(1+x²)²
=[x/(1+x²)]'
所以f(x)=x/(1+x²)+C